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数学史に残る定理を捧げる~片想いは実らない法則~ by荒川陸 #岡山ナイト

#岡山ナイト #岡山ナイト2016年7月10日

こんにちは

岡山ナイト首謀者の岡山さんに指名されたので書きます。ふだんは@hanaken_Nirvanaからみて桂馬飛びの位置にいます。Life is Tech ! でメンターしてます。

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東大生らしく数学します。

ブログの流れなんてガン無視します。

 

 

 

岡山ナイトを伝説に

 

その思いから、かのフェルマーも書き残せなかった大定理を書き残します。

 

 

その名も

 

《片想いは実らない》定理

 

・設定

佳孝くんには好きな女の子Aさんがいる。佳孝くんはAさんのことが好きすぎて、常にAさんめがけて速度vで突進する。しかし、Aさんは佳孝くんのことをなんとも思っていないため、無関心に速度vで動き続ける。この時、佳孝くんの恋は実るでしょうか?

 

数学的にモデル化するため、佳孝くん、Aさんの座標をP(x,y)、Qとする。

t=0に

・佳孝くんP(x=a,y=0)、速さv、

・AさんQ(x=0,y=0)、初速度(0,v)で、これは出発後も変わらない。

r = (佳孝くんとAさんの距離)と定義する。これはすなわち二人の距離を表し、t=0ではr=aである。

 

f:id:okayamadayo:20160703215724j:plain

 

 

 ・証明

<方針>

速度に関する関係式を二つ立式し、そこから微分方程式を導く。

 

①速度の絶対値に関する関係式

佳孝くんの移動距離について

 (vdt)^2 = (dx)^2+(dy)^2

 \therefore dr=vdt=-\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}   ---⑴

 

②速度の向きに関する関係式

時刻tにおける佳孝くん、Aさんの座標はそれぞれ

 P: (x,y)

 Q: (0,vt)

 である。ここで

 \vec{PQ}  と  \vec{v}は平行であるから、

(-x,vt-y) // (dx,dy)

 \therefore dx(vt-y) = -xdy

 \therefore vt = y - x\frac{dy}{dx}


これの両辺の微分をとると、
 vdt = xd(\frac{dy}{dx})   ---(2)

 

微分方程式導出

(1)、(2)より次の微分方程式を得る。

 \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} = x\frac{d^2y}{dx^2}

 

ここで f = \frac{dy}{dx}とすればより簡単な形にできて、

 \sqrt{1+f^2} = x\frac{df}{dx}

 \therefore \frac{1}{x}dx = \frac{1}{1+f^2}df

 \therefore \log{x} = \log{(f+\sqrt{1+f^2})}+C  Cは積分定数

 t=0x=af=0からC=\log{a}

よって

 x=a(f+\sqrt{1+f^2})

 

ここで f=\frac{dy}{dx}を戻してあげれば x,yの関係式が求まる。

 \frac{y}{a} = \frac{1}{4}(\frac{x}{a})^2-\frac{1}{2}\log{\frac{x}{a}}-\frac{1}{4}

これを片想い曲線と呼ぶ。

 

図示するとこんな感じ。

 

f:id:okayamadayo:20160703215729j:plain

 

佳孝くんはこの曲線に沿って動き、Aさんへと近づいていく。

 

 

しかしだ、

 

 

本当に佳孝くんはAさんに近づいているのだろうか?

 

 

二人の距離について考察してみよう。

 

十分時間が経った時佳孝くんのx座標は限りなく0に近いため、二人の距離rは

 r=vt-y

と近似できる。

(2)式の積分する前の式より

 vt - y =  - x\frac{dy}{dx}

 x\frac{dy}{dx}とは xfに等しく、計算過程からそれは -\frac{x^2}{2a}-\frac{a}{2}

に等しい。

いま xは十分0に近いため、結局十分時間が経った後では

 vt-y = \frac{a}{2}

になる。

 

 

どういうことだろうか、佳孝くんとAさんの距離が \frac{a}{2}に収束してしまった!

 

この結果が意味する事は、、

 

いくら時間が経っても佳孝くんはAさんに追いつけない!!!!!

佳孝くんはどんなに頑張ってもはじめの二人の距離の半分までしか進めない!!!

 

 

以上により、片想いが実らないことが証明された。                             (Q.E.D)

 

 

とうわけです。

全世界の片想いに苦しむ方に送ります。

 

 

P.S.

高2のころどっかのゼミで聞いた話。

佳孝くんもAさんも同じ速度 というのがみそ。佳孝くんがちょっとでも早く走れば追いつける。

片想いを実らせるためにはわき目をふらず、全速力でターゲットに突進することが大事。

 

 

岡山ナイトはこちらから

 http://svmeetup.connpass.com/event/34950/

 

 

次ははしばちゃん!